Л. Канторович – родоначальник теории линейного программирования (теории оптимального использования ресурсов). Теория оптимального использования ресурсов по Л. Канторовичу Особенности жизни, деятельности, вклада в науку, экономико-математических теорий Л.В

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Выходные сведения статьи: Наследие нобелевских лауреатов по экономике: Шестакова А.А., Забродова О.С. Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов // Наследие нобелевских лауреатов по экономике: сб. ст. III Всерос. науч.-практ. конф. молод. учен. - Самара, Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов 2016 Шестакова Александра Александровна студент Забродова Олеся Сергеевна студент 2016 Уфимцева Людмила Ивановна доцент 2016 Безгласная Елена Алексеевна доцент Самарский государственный экономический университет Описание модели Канторовича и модели "анализа деятельности фирмы" Купманса, практическое применение линейного программирования, рассмотрен метод оптимизации распределения ресурсов Канторовича на примере аналогичной задачи, с помощью графического, математического способов и симплекс-метода. Ключевые слова: Л.В. Канторович, Т. Ч. Купманс, нобелевская премия, оптимизация распределения ресурсов, линейное программирование. Heritage Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: theory of optimal allocation of resources 2016 Shestakova Aleksandra Aleksandrovna student Zabrodova Olesya Sergeevna student 2016 Ufimtseva Lyudmila Ivanovna 2016 Bezglasnaya Elena Alekseevna Samara State University of Economics Description of the Kantorovich model and the Kupmans model of firm activity analysis, practical use of linear programming, a method of optimizing the resources allocation by Kantorovich is considered on an example of a similar problem, using graphical, mathematical method and simplex algorithm.

2 Keywords: L.V. Kantorovich, Tjalling Koopmans, Nobel prize, optimization of distribution a resources, linear programming. Вплоть до ХХ в. ученые-экономисты не уделяли должного внимания математическим методам как способам решения поставленных задач на макро и микро уровнях хозяйственной деятельности. Тем не менее, между этими науками наблюдается тесная связь, которую удалось продемонстрировать выдающимся ученым. Одними из них выступают Л.В. Канторович и Т.Ч. Купманс, советский и американский экономисты-математики, которые по результатам своей деятельности получили Нобелевскую премию в 1975 г. "за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов". Модель Л.В. Канторовича, СССР. Л.В. Канторович стал одним из основателей важнейшего и наиболее часто применяемого метода оптимизации - линейного программирования. В 1937 г. перед Л. Канторовичем была поставлена задача выбора наилучшей производственной программы загрузки лущильных станков для фанерного треста. При этом известно количество станков, которые можно использовать для производства определенных изделий, а также количество деталей, из которых состоит изделие. Технические коэффициенты показывают, какое количество штук каждой детали станок может произвести в день. Другими словами, Канторовичу нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией максимизировать выпуск готовой продукции. Таким образом, ученый столкнулся с типичным представителем целого нового класса задач, к которым приводят вопросы нахождения наилучшего производственного плана. Свою идею, что впоследствии стало основой теории оптимального распределения ресурсов и ознаменовало открытие линейного программирования, Канторович изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней профессор впервые продемонстрировал, что разнообразные производственные проблемы можно сформулировать как задачи оптимизации определенного вида и предложил общий подход к их решению, методом итерации. Для решения задачи Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве, и количеством произведенной продукции на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (в дальнейшем объективно обусловленные оценки). С их помощью решается поставленная задача. Объективно обусловленные оценки являются ключевым моментом в методе Канторовича. Их связывают с интерпретацией, аналогичной множителям Лагранжа в классических задачах определения экстремума, и экономическая сущность заключается в том, что они являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Также эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Таким образом, было совершено открытие, которое позволяет оптимизировать производство, появляется возможность децентрализованным образом руководить деятельностью производственных секторов, технологическая структура которых может быть описана посредством линейных зависимостей (уравнений и неравенств). "Анализ деятельности" Т.Ч. Купманса, США. Несколько позже Канторовича, Купманс в своей работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942) рассмотрел проблему разработки плана торгово-

3 Наследие нобелевских лауреатов по экономике: го мореплавания с минимальной возможностью торпедирования суден подводными лодками. Он пришел к умозаключению, что задачу следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения, в свою очередь, ученый представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом общая величина затрат не может превышать сумму стоимости доставленных в каждый порт грузов. Купманс сделал вывод, что суть принципа линейного программирования заключается в совпадении по идеальным оценкам ресурсов издержек и результатов производства в оптимальном случае. Метод Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования. Модели этого типа отличаются от линейных тем, что в них производство может быть связано с выпуском нескольких товаров. Также возможен выбор между разными технологиями изготовления каждого вида продукции. Важным является тот факт, что применение модели возможно как в экономической теории, так и в практике управления. Это связано с определением коэффициента, равного цене затрат в условиях идеального рынка, с помощью полученных уравнений. Модель Купманса представляет большую ценность не только для центральных планирующих органов, но и для любых децентрализованных процессов производства, где наблюдается необходимость действовать в условиях наличия ограничений по ресурсам. Центральные органы могут задавать условия цен на затраты, в свою очередь оставляя выбор оптимальных путей местным руководителям. Внутри фирмы метод "анализа деятельности" позволяет наиболее эффективно организовать работы. Действенность метода линейного программирования Чтобы оценить валидность метода, мы рассмотрели экономическую задачу, аналогичную поставленной перед Канторовичем. Предположим, некоторое предприятие выпускает пиломатериалы и фанеру. Для их изготовления используются еловые и пихтовые лесоматериалы на единицу продукции. Таблица 1 - Доход от реализации и запасы сырья лесоматериалы расход лесоматериалов на единицу продукции Запасы сырья пиломатериалы фанера еловые пихтовые количество продукции доход от единицы продукции Составим план выпуска пиломатериалов и фанеры, который приносит наибольшую прибыль: Пусть план выпуска - пиломатериалов, - фанеры. Тогда прибыль составит: Z(x)= max. Ограничения составим по запасам сырья: ;

4 Рассмотрим задачу графически: D-область решений системы ограничений; ; линии уровня Z(x)=c проходят перпендикулярно вектору с и на этих прямых значение прибыли равное. При перемещении линии уровня по направлению вектора с значение прибыли увеличивается и наибольшее значение будет в точке М. Точка М - пересечение прямых Итак, прибыль максимальна при производстве 20м пиломатериала и 1200м фанеры. При рассмотрении двух продуктов метод прост и легко может быть представлен в виде графика. Но он применим и для решения задач более высоких порядков, подразумевающих рассмотрение трех или более продуктов. В этих случаях мы не можем использовать графическое решение, но Канторович разработал алгоритмическое, при помощи которого решения могут быть получены путем последовательного приближения - симплекс-метод. Подобные задачи можно решить симплекс-методом с помощью компьютерных программ. Решение задачи с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Office Excel: Таким образом, у нас получилось найти оптимальное решение с помощью линейного программирования. Полученные значения данное предприятие вполне может установить в план для организации производственной деятельности по выпуску фанеры и пиломатериалов. Из всего вышесказанного следует, что благодаря деятельности Канторовича и Купманса, не только математика, но и экономика приобрела новый, достаточно универсальный, удобный и необходимый раздел - линейное программирование и, таким образом, была заложена основа методов оптимизации. Изобретение линейного программирования помогает в решении главной проблемы экономики - оптимального распределения ограниченных ресурсов. Приведенные модели с помощью линейного программирования обеспечивают выбор из нескольких решений такого варианта, который максимизирует выпуск продукции, причем не

5 Наследие нобелевских лауреатов по экономике: только на уровне предприятия, но и на макроэкономическом уровне. Ведь спектр применения метода широк и разнообразен - в задачах рационального использовании сырья и материалов; оптимальной организации перевозок; оптимизации размещения предприятий; эффективного планирования многих процессов производства и т.д. Также линейное программирование стало прочной основой для возникновения множества других методов, которые позволяют найти оптимум для производства любой сложности, любой системы ограничений. Список литературы 1. Нобелевские лауреаты ХХ века. Автор - Васина Л.Л., 2001 г. 2. Экономико-математические методы и модели. Задачник. Авторы: Р.И. Горбунова Р.И., Макаров С.И., Уфимцева Л.И., 2008 г. 3. Йохансен Л., "Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку", 1976 г. 4. Канторович Л.В., "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов", 1959 г. 5. Довбенко М. В., Осик Ю. И., "Современные экономические теории в трудах нобелиантов", Москва, 2011 г.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Дегтярёва Нина Адамовна, к.э.н., доцент Коммерческая работа - это деятельность предприятия, направленная на решение особого комплекса задач. Изучение

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Князева А., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» Филиал в г. Самаре ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL Временем рождения линейного

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Борисова М.В., Недопёкина К.И. Компьютерная реализация процедур линейного программирования // Академия педагогических идей «Новация». Серия: Студенческий научный вестник. 2019. 3 (март). АРТ 195-эл. 0,2

SWorld - 2-12 October 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/oct-2012 SCIENTIFIC RESEARCHES AND THEIR PRACTICAL APPLICATIO N.

Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Задачи оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задачи линейного программирования Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений» Направление подготовки 080100.62 «Экономика» Профиль «Экономика и управление инвестициями»

Федеральное агентство по образованию НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ - «НИНХ» Рег. 24-0/02 Кафедра Высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СИМПЛЕКС-МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ХЛЕБОПЕКАРНОГО МАГАЗИНА «ШОКОЛАДНИЦА» Кирнозова И.Р. Ставропольский государственный аграрный университет, Ставрополь, Россия MATHEMATICAL

Методы оптимальных решений Контрольная работа Задача 1. Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего).

Математическое программирование Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему получения наибольшего эффекта, при затрате ограниченных средств. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ 50» Графический метод решения задач линейного программирования

MPRA Munich Personal RePEc Archive Use of tools of analytical geometry for search of an extremum of production function Natalia Aleksenko and Nadezhda Il ina and Victoriya Motrich Financial University

Экономические приложения теории экстремумов функций двух переменных Ляликова Е Р Ляликова Елена Реомировна / Ljalikova Elena Reomirovna - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка

Исследование операций в экономике УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией профессора Í. Ø. Êðåìåðà Рекомендовано Министерством образования РФ в качестве учебного пособия

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ «НИНХ» Рег. 754-16/02 Кафедра статистики МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра

Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ШКОЛЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Становление Применение математических методов в отечественных экономических исследованиях традиция, возникшая

Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ КАК ФУНКЦИИ EXCEL Команда Подбор параметра Задание 1. Рассмотрим задачу, составленную на основании задачи по использованию функции ЧПС. Вас просят

Токарев К.С. Графическая интерпретация взаимосвязей решений исходной и двойственной задач линейного программирования // Академия педагогических идей «Новация». Серия: Студенческий научный вестник. 2018.

Динамическая задача определения оптимальной производственной программы Мищенко А.В., Джамай Е.В. В современной динамично меняющейся экономике прогрессивные изменения в народнохозяйственном комплексе страны

Практическая работа 8 Решение задач линейного программирования графическим методом. Цель работы: Научиться решать задачи линейного программирования графическим методом. Содержание работы: Основные понятия.

1 УДК: 004.032:633/635 ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕВОЗОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ВИЗУАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ Замотайлова Дарья Александровна студентка Бурда Алексей Григорьевич

Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 2 План темы 3 «Транспортная задача»: 3.. Постановка задачи, основные определения 3.2. Закрытая и открытая транспортная задача 3.3. Метод северо-западного угла 3.4. Метод потенциалов

Сальникова Н. И. к.э.н., доцент, доцент кафедры экономической теории Институт экономики и управления КФУ им. В. И. Вернадского Росиия, г. Симферополь ЭФФЕКТИВНОСТЬ И ЕЕ ТРАКТОВКА В ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ЗАПАДНОЙ

Решение задачи по предмету «Теория принятия решений» Фирма «Х» производит три типа химикатов. На предстоящий месяц эта фирма заключила контракт на поставку следующих количеств трех типов химикатов; Тип

АНАЛИЗ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА НА ПРИМЕРЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Логунова Ю.А. Самарский государственный экономический университет Самара, Россия THE ANALYSIS OF CONSUMER CHOICE BY THE EXAMPLE

Задание: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Вариант 2. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более, чем на 5000 студентов. Университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

УДК 330.46 Прикладные возможности WolframAlpha для решения задач линейного программирования Соколов Арсентий Борисович Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова Магистрант Научный руководитель:

Аналитическое задание фигур на плоскости. Задачи оптимизации Окружность с центром в точке A 0 (x 0,y 0) и радиусом R задается уравнением (x-x 0) 2 + (y-y 0) 2 = R 2. Круг, ограниченный этой окружностью,

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Кафедра математики Н. П. Анисимова, Е. А. Ванина ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие

УДК 519.852:330.4 Курышева А.С. студентка специальности «Экономическая безопасность», Институт экономики, НИУ «БелГУ», Россия, г. Белгород Зуева Е.О. студентка специальности «Экономическая безопасность»,

0 (75) 0 Экономико-математическое моделирование УДК 59.853.3 РЕШЕНИЕ РЯДА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АЛГОРИТМАМИ МЕТОДА ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕПОЛНОЙ МИНИМИЗАЦИЕЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ А. Г. ИСАВНИН, доктор физико-математических

Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК ПРЕДПРИЯТИЯ Абрамкина Т.Н. Самарский государственный экономический университет Самара, Россия OPTIMIZATION METHODS OF FIRM LOGISTICAL COSTS Abramkina T. Samara

Двойственные задачи Содержание Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства 5 Теоремы двойственности

Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

УДК 00.57: 004.94 М.Б. Котляревский доктор физико-математических наук, профессор П.В. Захарченко кандидат техничних технических наук, доцент Академия управления и информационных технологий «АРИУ», г.бердянск

УДК 5: 378 ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ «ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В Г Гетманов докт техн наук, профессор профессор каф информатики и прикладной математики e-ml:

Глава Экстремумы функций нескольких переменных Локальные экстремумы функций двух переменных Условные экстремумы Функция z f) имеет максимум минимум) в точке M если можно найти такую окрестность точки

1. 2 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: ознакомить студентов с различными математическими моделями в экономике, такими, как модель межотраслевого баланса, модель экономического

Классическая транспортная задача, решенная методом потенциалов Лозгачёв И. А., Корепанов М. Ю., студенты. ФГБОУ ВПО «Уральский государственный горный университет» Екатеринбург, Россия The classical transport

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Методы оптимальных решений» Направление 08000 Экономика для подготовки студентов бакалавров

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Excel и Mathcad ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе

Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений

XLI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: общественные и экономические науки» MS EXCEL КАК СРЕДСТВО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Кафедра «Технология деревообработки» МОДЕЛИРОВАНИЕ

Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Грук Любовь Владимировна Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 603 Фрунзенского района Санкт-Петербурга ФУНКЦИИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Функциональная

Леонид Витальевич Канторович (Kantorovich) (19.01.1912 г. 7.04.1986 г.) Нобелевская премия по экономике 1975 г. (совместно с Тьяллингом Купмансом) Российский экономист-математик Леонид Витальевич Канторович

Лекция 2. Основная задача линейного программирования. Все задачи линейного программирования могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть максимизирована, а все ограничения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Контрольная работа Задача 5 На предприятии имеется сырье видов 1, 2, 3 Из него можно изготавливать изделия типов А и В Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют b 1, b 2, b 3 ед соответственно,

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА

Линейное программирование в задачах управления производством Многие задачи управления, экономики и организации производства решаются с использованием метода линейного программирования. Модель линейного

«NAUKA- RASTUDENT.RU» Электронный научно-практический журнал График выхода: ежемесячно Языки: русский, английский, немецкий, французский ISSN: 2311-8814 ЭЛ ФС 77-57839 от 25 апреля 2014 года Территория

Банк заданий для промежуточного контроля Тест. Тема «Линейное программирование» Состоит из - 3 теоретических вопроса по теме и 4 6 практических заданий, предусматривающих умения и навыки: составлять математические

Князева А., Лыкова Н.П.

ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет»

Филиал в г. Самаре

постановка Задач линейного программирования и их решение с помощью msexcel

Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за "вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике".

Было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк:

задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

задача о смесях (планирование состава продукции);

задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

целевая функция: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)

ограничения:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn {≤ = ≥} b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn {≤ = ≥} b 2 , (2)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn {≤ = ≥} b m ;

требование неотрицательности: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)

При этом a ij , b i , c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - заданные постоянные величины .

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).

Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями задачи , а ограничения (3) - прямыми .

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным .

Задачи линейного программирования можно решать вручную, т.е. алгебраически и графически, а можно при помощи MS Excel. Эта программа позволяет быстро и легко решить задачи линейного программирования.

Разберём решение таких задач на конкретном примере:

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид корма	Ежедневное количество корма усл. ед.		Общее количество корма, усл.ед.
Прибыль от реализации одной шкурки, руб.

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Запишем математическую модель:

Х шт – лисицы, У шт - песцы

16x+12y - max (1)

Решение данной задачи аналитически сводится к решению системы из трёх неравенств (2-4), выражая значение одной переменной через другую получаем:

х  90 – 1,5у

4(90 – 1,5у) + у  240

6(90 – 1,5у) + 7у  426

х 1  54 х 2  4,5

у 1  24 у 2  57

причём х 2 и у 2 не удовлетворяют решению, т.к. количество зверей не может быть дробным числом.

Следовательно, целевая функция будет равна: 1152

Однако, с помощью MS Excel решение гораздо проще и быстрее.

Для решения задачи в MS Excel, необходимо создать таблицу с исходными данными (рис. 1)

Рис.1 – Таблица с исходными данными (задача на оптимизацию производства)

Затем с помощью встроенных функций MS Excel (=СУММПРОИЗВ) ввести ограничения и целевую функцию (рис.2)

Рис. 2 – ограничения и целевая функция

После того, как все ограничения и целевая функция введены, следует воспользоваться встроенной программой MS Excel Поиск решения (рис. 3), в которой также вводятся целевая функция, ограничения, а также изменяемые ячейки (т.е. неизвестные переменные).

Рис. 3 – Поиск решения

Однако прежде чем приступить к решению необходимо также во вкладке параметры поиска решения задать: линейная модель, неотрицательные значения и автоматическое масштабирование (рис. 4)

Рис. 4 – Параметры поиска решения

После завершения ввода всех ограничений и параметров мы получаем искомое решение задачи (рис. 5)

Рис. 5 – Итоговая таблица, с полученным решением

На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.

Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение.

Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

1) на сколько можно увеличить или уменьшить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

2) на сколько можно уменьшить или увеличить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

MS Excel позволяет делать отчет по результатам, который состоит из 3 таблиц:

1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение целевой функции и оптимальное (результат).

2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения переменных и результирующие (оптимальные). Если продукт не входит в оптимальное решение (равен 0), то он считается не рентабельным.

3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены столбцы:

Значение – значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.

Формула – отображается знак ограничения (больше или равно, меньше или равно и т.д.)

Статус – отображено Связанное или не связанное ограничение. Если статус связанное, то ресурс использован полностью. Если же статус – не связанное, то ресурс использован не полностью.

Разница – отображено количество оставшегося не использованным ресурса.

А также отчет по устойчивости, который состоит из 2 таблиц:

1 – изменяемые ячейки. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:

Результирующее значение – это оптимальный план.

Нормированная (редуцированная) стоимость – показывает, на сколько изменится целевая функция после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0.

Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

2 – Ограничения. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:

Результирующее значение - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.

Теневая цена – изменение целевой функции при изменении дефицитного ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0.

Ограничение Правая часть – запас ресурса.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает, на сколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на целевую функцию.

Удобство использования MS Excel для решения задач линейного программирования заключается в том, что:

создав один раз таблицу, её можно применять для задач такого же типа изменяя только исходные данные;

все необходимые для решения задачи формулы уже представлены в MS Excel;

решение задачи занимает в несколько раз меньше времени, нежели её же решение вручную;

точность решения гораздо выше, чем вручную, а погрешности сведены к минимуму.

Единственным минусом решения задач линейного программирования с помощью MS Excel может быть: отсутствие полного решения, т.е. поиск решения сразу выдаёт готовый ответ, не показывая все вычисления, что в принципе не является целью решения задачи.

Список литературы:

А.Г.Трифонов. Примеры решения оптимизационных задач // 2008

Попова Н.В. Математические методы // М.:ВТК. – 2005

Лыкова Н.П., Князева А ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL // Научный электронный архив.
URL: (дата обращения: 26.12.2019).

Л.В. Канторович - экономист - внес выдающийся вклад в экономическую науку. С его именем связан естественнонаучный подход к исследованию широкого круга проблем планирования. Л.В. Канторович заложил фундамент современной теории оптимального планирования. Развернутому изложению основных идей этой теории посвящена его капитальная монография “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” . Стержнем этой книги является формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи достаточно просты, но в то же время учитывают важнейшие черты экономического планирования. Одно из привлекательных качеств состоит в том, что они базируются на схеме линейного программирования и, следовательно, на развитом аналитическом аппарате и обширном наборе эффективных вычислительных средств, часть из которых предложил сам Леонид Витальевич.

Значителен его вклад в проблему ценообразования - одну из коренных, затрагивающую, по существу, все сферы функционирования общества. Л.В. Канторович установил связь цен и общественно-необходимых затрат труда. Он дал определение понятия оптимума, оптимального развития, конкретизировав, в частности, что следует понимать под максимальным удовлетворением потребностей членов общества. Из его положения о неразрывности плана и цен вытекает зависимость общественно-необходимых затрат труда от поставленных целей общества.

Таким образом, цели общества, оптимальный план и цены составляют одно неразрывное целое. Им указаны конкретные условия, при которых объективно обусловленные оценки оптимального плана совпадают с полными (прямыми и сопряженными) затратами труда. Определение перспектив экономики, наличие гигантских “естественных монополий” заставляет сохранить для них расчет, по крайней мере, опорных цен, согласованных и взаимно, и с интересами других отраслей экономики.

Математические модели получили отражение в некоторых курсах политической экономии. В работах Л.В. Канторовича исследовался ряд основных проблем экономической теории и практики хозяйствования. Указывая на недостатки действовавшей экономической системы, Л.В. Канторович подчеркивал, что система экономических показателей должна быть единой, построена по единому принципу. В связи с этим значительную часть своих работ в этой области Леонид Витальевич посвятил разработке и анализу конкретных экономических показателей.

В работах самого Л.В. Канторовича особое внимание было уделено оценке земельных ресурсов и воды, учету этих показателей в (заготовительных) ценах на сельскохозяйственную продукцию. Предложены оригинальные подходы к их расчету (сочетание метода наименьших квадратов и линейного программирования). На этой основе были даны рекомендации по улучшению системы экономических показателей и расчетов в сельском хозяйстве. Значение предложенных им принципов расчета в складывающейся экономической системе только возрастает.

В работах Л.В. Канторовича вскрывается сущность понятия показателя эффективности капиталовложений, показывается его роль в экономических расчетах принятия решений, предлагается методика определения величины этого нормативного показателя. Таким образом, Л.В. Канторович дал убедительное научное обоснование необходимости применения норматива эффективности и на основе оптимизационного подхода дал объективный путь его расчета.

В работе “Амортизационные платежи при оптимальном использовании оборудования” (1965) Л.В. Канторовичем была вскрыта сущность понятия амортизации. Он показал, как можно повысить эффективность использования оборудования, разделив амортизационные платежи на два типа, и с помощью остроумной математической модели указал, как определить численную величину коэффициента амортизационных отчислений. Это изменение позволило сделать ряд принципиальных выводов о необходимости корректировки принятой методики расчета амортизации.

Специальный интерес проявлял Леонид Витальевич к проблемам транспорта. Еще в его первых экономических работах были даны общий анализ транспортной задачи и метод потенциалов для ее решения. Этот метод широко использовался на транспорте (железнодорожном, автомобильном, морском, воздушном) и в органах централизованного снабжения для рационального прикрепления и рациональной организации перевозок. Он, безусловно, сохраняет свое значение и сейчас наряду с широко используемыми методами диспетчерского управления и расчетами маршрутов.

В работах “Об использовании математических моделей в ценообразовании на новую технику” (1968) и “Математико-экономический анализ плановых решений и экономические условия их реализации ” (1971) Л.В. Канторович исследовал проблему эффективной работы транспорта с экономической точки зрения, показал, каковы должны быть транспортные тарифы в зависимости от вида транспорта, груза, расстояний и т. д. В ряде работ им рассматривались и вопросы комплексной транспортной системы - взаимосвязь транспорта с другими отраслями народного хозяйства и распределение перевозок между видами транспорта с учетом экономичности и в особенности энергозатрат. Эти работы сохраняют свое значение и сейчас.

Помимо проблем народнохозяйственного планирования, Л.В. Канторович рассмотрел вопросы, относящиеся к отраслевому планированию. Наиболее простой и часто используемой является предложенная им модель, базирующаяся на транспортной задаче. На ряд более сложных моделей, в частности производственно-транспортной, динамической, декомпозиционной, им указано в работах, посвященных текущему и перспективному отраслевому планированию (“Возможности применения математических методов в вопросах производственного планирования”, 1958) и др. Эти вопросы нашли отражение в исследованиях по отраслевым АСУ.

Большое внимание Леонид Витальевич уделял вопросам рационального использования труда. Им было предложено введение платежей предприятий за использование труда дифференцированных по профессиям, половозрастным признакам и территории. Он указывал также на возможности научного, количественного подхода к социальным проблемам, вопросам совершенствования сферы услуг и др. Вопросы экономического стимулирования рационального использования трудовых ресурсов остаются актуальными и сейчас.

В течение ряда лет и особенно в последние годы Л.В. Канторовича интересовали проблемы эффективности технического прогресса, в частности вопросы внедрения в производство новой техники.

Особый интерес представляет обоснование предложения об установлении двух уровней цен на принципиально новую продукцию в первые годы ее выпуска. Важное значение имел также вывод о необходимости более высоко оценивать вклад в национальный доход технического прогресса и науки, чем это получалось по принятым тогда методам расчета (“Ценообразование и технический прогресс”, 1979).

Л.В. Канторович уделял большое внимание внедрению разработанных им методов в экономическую практику. В первую очередь в этой связи следует отметить цикл работ, посвященных методам рационального раскроя материалов, начатый Леонидом Витальевичем еще в 1939 - 1942 гг. В 1948 - 1950 гг. эти методы были внедрены на Ленинградском вагоностроительном заводе имени Егорова, на Кировском заводе и распространены впоследствии на некоторых других предприятиях. Более широкому распространению методов рационального раскроя способствовал ряд проведенных по инициативе Л.В. Канторовича совещаний.

С 1964 г. по предложению Леонида Витальевича проводилась большая работа по внедрению системных методов расчета оптимальной загрузки прокатных станов в масштабах всей страны.

Являясь членом Государственного комитета по науке и технике, Л.В. Канторович вел большую организационную работу, направленную на совершенствование методов планирования и управления народным хозяйством. Он возглавлял Научный совет ГКНТ по использованию оптимизационных расчетов, состоял членом многих ведомственных советов и комиссий (по ценообразованию, транспорту и др.). Вклад Леонида Витальевича в исследование проблемы эффективности производства и, в частности, проблемы эффективности капитальных вложений исключительно велик.

До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Петербурге, учился в Ленинградском университете. В 1930 г. Л. Канторович был участником Всесоюзного математического съезда. В этом же году закончил университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. В 1930-1939 гг. работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, потом (до 1948) - заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища.
В 1935 г. стал доктором физико-математических наук; до 1960 г. он - профессор Ленинградского университета. Ему принадлежат первоклассные результаты по функциональному анализу, теории функций, вычислительной математике. Широкое признание приобрели его работы по дескриптивной теории функции и теории множества, по конструктивной теории функций, приблизительным методам анализа; он заложил основы нового направления функционального анализа - теории полуупорядоченных векторных пространств, которые названы «К-пространствами». Феномен Л. Канторовича в том, что он одновременно был талантливым математиком и экономистом, который внес коррективы в понимание экономических явлений, расширил экономическое мышление, стал основоположником оригинальной экономической школы.
В 1958 г. вместе с В. Немчиновым Л. Канторович создал Лабораторию по внедрению статистических и математических методов в экономике.
Л. Канторович принимал участие в создании Сибирского отделения Академии наук СССР. Осенью 1960 г. в Ленинграде возглавил группу математиков и экономистов, которая переехала в Новосибирск и вошла в состав Института математики Сибирского отделения АН СССР как математико-экономический отдел. Одновременно работал профессором Новосибирского университета. В 1971 г., переехав в Москву, ученый возглавлял Проблемную лабораторию в Институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике.
Является автором работ: «Методы приблизительного решения дифференциальных уравнений в частных производных» (в соавторстве с В. Крыловым) (1963), «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (в соавторстве с Б. Вулихом и А. Пинскером) (1949), «Функциональный анализ и прикладная математика» (1948), «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), «Функциональный анализ в нормированных пространствах» (в соавторстве с Г. Акиловым), «Динамическая модель оптимального планирования» (1967), «Ценообразование и технический прогресс» (1979) и др.
Л. Канторович - почетный член Международного Эконометрического общества, почетный доктор Гренобльского, Хельсинского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Халле, Статистического института в Калькутте. Награжден двумя орденами Ленина.
Важнейшим вкладом Л. Канторовича явилась теория оптимального распределения ресурсов.
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования.
Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Его началом стал поиск решения практической задачи. В 1937 г. к профессору Ленинградского университета Л. Канторовичу обратились инженеры местного фанерного треста с просьбой найти эффективный способ для обеспечения наивысшей производительности труда. Для обработки 5 видов материала выделили 8 станков с определенной производительностью каждого из них по каждому виду материала.
Другими словами, нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией («функционалом») - максимизировать выпуск готовой продукции. Известными на тот момент методами это сделать было трудно, поскольку было необходимо решить почти миллиард алгебраических уравнений. Л. Канторович предложил метод линейного программирования, который стал новым разделом в математике и получил признание в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники.
Ученый понимал важность создания математической основы для решений типовой хозяйственной задачи. Условия задачи на оптимальность и цель могут выражаться с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, которые можно изобразить на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача имеет несколько вариантов решения, а найти необходимо один.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве (деревом, клеем, электроэнергией, рабочим временем), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (мультипликаторами). С их помощью решается поставленная задача. Если значения решающих множителей известны, то необходимые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно сравнительно легко найти.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Внедренный Л. Канторовичем термин «решающие множители» в более поздних трудах получил несколько другую интерпретацию и другую формулировку - «объективно обусловленные оценки». Эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Значения этих оценок подходят только для конкретной задачи и, в отличие от цен, задаются не извне, а определяются самим предприятием для внутреннего пользования. Ученый предлагал рассчитать их в разработке планов; на эти показатели могут опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедренные
в практику планирования и управления такие расчеты должны оптимизировать использование ресурсов.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
На оригинальный подход Л. Канторовича до 50-х годов почти не реагировали. Обобщив свои исследования, он расширил сферу анализа.
В работе «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» и в следующих работах он внедрил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в том числе и на национальном уровне.
Несколько позднее, но независимо от Л. Канторовича подобную методологию предложил Т.-Ч. Купманс.
Купманс (Koopmans) Тъяллинг-Чарльз (1910-1985) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Гравеланде (Нидерланды). Получил образование в Утрехтском университете. Увлекался сначала математикой и физикой, работал физиком, а под впечатлением от Великой депрессии начал заниматься экономикой.
С 1934 г. в Амстердамском университете изучал проблему общего равновесия. Докторскую диссертацию на тему «Линейный регрессивный анализ экономических временных рядов» защитил в 1936 г. в Лейденском университете. Преподавал экономику и занимался научно-исследовательской деятельностью в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме.
В 1938-1940 гг. работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного оборота. Эмигрировал в США. Преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах. С 1955 г. - профессор экономики Йельского университета. В 1950 г. был избран президентом Международного эконометрического общества, а в 1978 г. - президентом Американской экономической ассоциации.
Т.-Ч. Купманс был редактором и соавтором одного из первых фундаментальных трудов по линейному программированию «Анализ деятельности производства и распределения» (1951).
Ученому принадлежат важные достижения в разработке теории капитала, операционного анализа. Отдельные свои труды он посвятил оптимальному распределению производственных ресурсов, статистической оценке параметров в экономико-математических моделях.
Его детище - работы по статистике и математической экономике. Наибольшее признание получили работа «Анализ деятельности производства и распределения», подготовленная группой авторов под его руководством, а также работы «Статистическое заключение в динамических моделях экономики» (1950), «Три эссе о состоянии экономической науки» (1957) и др.
Т.-Ч. Купманс - заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского университета, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Северо-Западного и Пенсильванского университетов, Католического университета Лувена.
В 1944-1945 гг. по поручению англо-американского объединенного совета по регулированию мореплавания Т.-Ч. Купманс разработал план торгового мореплавания, который минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых суден фашистскими подводными лодками. Целью была минимизация холостого пробега суден.
Эту тему он затронул в работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942). Ученый показал, что проблему следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом величина любых затрат не может превышать явную сумму стоимости грузов, доставленных в каждый порт. Ученый пришел к выводу, что суть принципа линейного программирования заключается в том, что в оптимальном случае и по идеальным оценкам всех ресурсов издержки и результаты будут равными.
Работая в британской торговой миссии в Вашингтоне, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями. По этому методу можно было, например, рассчитать издержки на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозятся тысячами суден морскими путями в сотни портов. Метод Т.-Ч. Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования.
В 1947 г. ученый озвучил свои выводы на международной конференции по статистике. В то время он активно разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. При его содействии в 1949 г. в Чикаго была проведена первая специальная конференция по линейному программированию.
В 1950 г. Т.-Ч. Купманс вместе со своими сторонниками завершили формулирование метода анализа деятельности фирмы. Модели этого типа так же, как и межотраслевые, линейные, однако у них каждый вид производственной деятельности может быть связан с выпуском нескольких товаров. К тому же существует возможность выбора между разными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему появляются естественные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

«В 1937 г. директором НИИ математики и механики, созданного при университете в 1932 г., стал В. И. Смирнов, который передал руководство отделом математики Л. В. Канторовичу . С этой новой должностью были связаны большие изменения во всей его жизни. Всё началось с обычной научной консультации производственникам.

В 1938 г. к Канторовичу обратились сотрудники Фанерного треста, изучавшие способы повышения полезной загрузки производственных мощностей. По математической классификации у них возникла экстремальная задача - задача на максимум некоторой простой функции от большого числа переменных. Консультируя их, Леонид Витальевич сразу увидел (это просто), что классические методы решения в этой задаче не могут дать эффективного решения. Он разработал и предложил новый, более эффективный метод. В основе его метода было использование специальных величин (множителей), обобщающих хорошо известные в математике множители Лагранжа . Но сама консультационная задача была только толчком к исследованиям. Канторович стал думать о похожих ситуациях и вскоре увидел многочисленные применения таких моделей и таких методов в различных экономических и технико-экономических ситуациях. Анализируя свойства упомянутых множителей в этих моделях, он провёл замечательные аналогии между множителями и экономическими показателями, специфичными для конкретных моделей, своего рода «внутренними ценами» экономических ситуаций, даже таких ситуаций, в которых цен не было. Интересно, что к похожим выводам (без использования математических моделей) пришёл примерно в то же время и ленинградский экономист Виктор Валентинович Новожилов (1892-1970).

Попытаюсь объяснить, что же мог сделать в экономике математик, не владевший даже правильным (и ужасным, по-моему) экономическим языком. Начнём с практического вопроса, одного из тех, которые задавал себе Канторович. Предприятие может увеличить выпуск своей продукции, увеличив при этом себестоимость (то есть затраты на единицу продукции). Выгодно ли это делать, и если да, то в какой мере? Советская экономическая наука и практика отвечали на этот вопрос отрицательно: ни в коем случае.

Как же ответил на этот вопрос Канторович? Если рынок нуждается в данной продукции и платит за неё больше себестоимости данного предприятия, то увеличение выпуска выгодно, вопреки тогдашним экономическим воззрениям. Размер спроса на продукцию устанавливает её граничную («маргинальную») цену и соответствующую ей граничную себестоимость. Выгодно любое производство, себестоимость в котором меньше этой границы. Сейчас это очевидно и элементарно (если в рассмотрение не входят более сложные факторы).

В советские времена «рыночные аргументы» были противопоказаны, а слово «маргинальный» (или «маржинальный») запрещено. Кроме того, объём выпуска продукции диктовался планом, и связывать его с выгодностью не рекомендовалось. Но и в такой ситуации можно позаботиться об эффективности. Представим себе, что данную продукцию выпускают несколько предприятий и себестоимости у них различны и зависят от объема выпуска. И в этом случае найдётся граничное значение себестоимости, определяющее эффективные объёмы выпуска: ни у одного предприятия себестоимость не должна превышать этого граничного значения, а с меньшей себестоимостью предприятие выпускает продукцию только в случае, когда рост её производства невозможен. Это, конечно, самый простой из подобных вопросов. Но уже в нём появляется новый важный показатель - граничная себестоимости продукции. Всё дело в таких показателях. Канторович установил, что такие вспомогательные показатели возникают во многих случаях, где приходится делить ограниченные ресурсы. Они возникают из математического анализа задачи, но оказываются очень полезными для экономического исследования практической ситуации, так как всегда им можно придать ясный (хотя и непривычный) экономический смысл.

Одна из рассмотренных Канторовичем ситуаций - транспортная задача. В ней нужно определить, откуда, куда и сколько везти, если заданы сбалансированные объёмы производства и потребления однородного продукта. Возникающие показатели трактуются как транспортные цены продукта во всех пунктах сети, а перевозка идет только по тем направлениям, где стоимость перевозки равна разности этих цен в пунктах назначения и отправления, причём меньше этой разности стоимость нигде не будет - так уж устроены цены. Получающиеся транспортные цены зависят от конкретной задачи. Они не связаны с условиями производства, но подсказывают экономисту, где при данном спросе и данном наборе себестоимостей выгодно увеличить производство, а где его желательно уменьшить.

В мае 1939 г. Канторович сделал в университете доклад о своих результатах, и с поразительной оперативностью издательство ЛГУ выпустило этот доклад отдельной брошюрой осенью того же года. Почти сразу же Канторович стал работать над развернутым изложением своей теории. Эта работа продолжилась и во время войны. […]

Леонид Витальевич добился того, что в Москве в Госплане СССР было организовано совещание, на котором он изложил свои идеи, но отрицательный итог этого совещания был предопределён. Канторович вспоминал: «Всё говорило о том, что необходимо на определённое время оставить эти работы. Их продолжение становилось опасным - как я узнал впоследствии, мои предположения были небезосновательными. Вариант моей изоляции всерьёз обсуждался».

Разумовский И.В., Л.В. Канторович: «Разумное обобщение даёт больше, чем детальное исследование, в Сб.: Знаменитые универсанты: очерки о питомцах Санкт-Петербургского университета, Том 3, СПб, «Знаменитые универсанты», 2005 г., с. 461-462.